O crescimento exponencial

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O gráfico ilustra como o crescimento exponencial (verde) ultrapassa tanto linear (vermelho) e cúbico de crescimento (azul).
  O crescimento exponencial
  O crescimento linear
  Crescimento Cubic

O crescimento exponencial (incluindo decaimento exponencial quando a taxa de crescimento é negativo) ocorre quando a taxa de crescimento do valor de uma função matemática é proporcional ao valor actual da função. No caso de um domínio discreta de definição com intervalos iguais, é também chamado de crescimento geométrico ou deterioração geométrica (os valores da função formar uma progressão geométrica ).

A fórmula para o crescimento exponencial de uma variável x na taxa r (positivo ou negativo) o crescimento, como o passar do tempo t em intervalos discretos (isto é, às vezes inteiros 0, 1, 2, 3, ...), é

X_T = x_0 (1 + r) ^ t

onde x_0 é o valor de x no tempo 0. Por exemplo, com uma taxa de crescimento de r = 5% = 0,05, indo a partir de qualquer valor inteiro de tempo para o próximo inteiro faz com que x na segunda vez para ser 1,05 vezes (isto é, 5% maior do que) o que era no anterior tempo.

O modelo de crescimento exponencial é também conhecido como o modelo de crescimento malthusiano .

Conteúdo

[ editar ] Aplicações

  • Biologia
    • O número de microorganismos em uma cultura tanto irá aumentar exponencialmente até um nutriente essencial esteja esgotado. Tipicamente, o primeiro organismo divide em dois organismos filha, que em seguida, cada dividida para formar quatro, que se separaram para formar oito, e assim por diante.
    • Um vírus (por exemplo: SARS , ou varíola ) normalmente vai se espalhar exponencialmente num primeiro momento, se não artificial imunização está disponível. Cada pessoa infectada pode infectar várias pessoas novas.
    • População humana , se o número de nascimentos e mortes por pessoa por ano deveriam permanecer nos níveis atuais (mas também ver o crescimento logístico ). Por exemplo, de acordo com o United States Census Bureau, ao longo dos últimos 100 anos (1910 a 2010), a população dos Estados Unidos da América está aumentando exponencialmente a uma taxa média de um e meio por cento ao ano (1,5%). Isto significa que o tempo de duplicação da população Americana (dependendo do crescimento anual na população) é de aproximadamente 50 anos. [1]
    • Muitas respostas dos seres vivos a estímulos , incluindo humana percepção , são logarítmicas respostas, que são o inverso de respostas exponenciais, a sonoridade ea freqüência de som são percebidos logaritmicamente, mesmo com estímulo muito fraco, dentro dos limites da percepção. Esta é a razão pela qual exponencialmente aumentando o brilho de estímulos visuais é percebida por seres humanos como um aumento linear, em vez de um aumento exponencial. Isso tem valor de sobrevivência . Geralmente, é importante que os organismos para responder a estímulos em uma ampla gama de níveis, a partir de níveis muito baixos, a níveis muito elevados, enquanto que a precisão da estimativa de diferenças nos níveis elevados de estímulo é muito menos importante para a sobrevivência.
  • Física
    • Avalanche repartição dentro de um dieléctrico material. Um livre de electrões torna-se suficientemente acelerada por uma aplicado externamente campo eléctrico que liberta electrões adicionais que colide com átomos ou moléculas dos meios de comunicação dieléctricas. Estes elétrons secundários são acelerados também, criando um maior número de elétrons livres. O crescimento resultante exponencial de electrões e iões pode levar rapidamente para completar repartição dieléctrica do material.
    • Reação nuclear em cadeia (o conceito por trás de reatores nucleares e armas nucleares ). Cada urânio núcleo que sofre fissão produz múltiplos neutrões , cada um dos quais pode ser absorvidas por átomos de urânio adjacentes, levando-os a cisão por sua vez. Se a probabilidade de absorção de neutrões excede a probabilidade de fuga de neutrões (uma função da forma e massa do urânio), k> 0 e assim a taxa de produção de neutrões e fissões de urânio induzidas aumenta exponencialmente, em uma reacção incontrolável. "Devido à taxa exponencial de crescimento, em qualquer ponto na reacção em cadeia de 99% da energia vai ter sido lançado nos últimos 4,6 gerações. É uma aproximação razoável pensar nas primeiras 53 gerações como um período de latência levando até a explosão real, que leva apenas 3-4 gerações ". [2]
    • Realimentação positiva dentro da gama linear do eléctrico ou eletroacústica amplificação pode resultar em crescimento exponencial do sinal amplificado, embora de ressonância efeitos podem favorecer alguns componentes de frequências do sinal de sobre os outros.
    • Transferência de calor experimentos produzir resultados cuja linha de melhor ajuste são curvas de decaimento exponencial.
  • Economia
    • O crescimento econômico é expresso em termos percentuais, o que implica um crescimento exponencial. Por exemplo, o PIB dos EUA per capita cresceu a uma taxa exponencial de cerca de dois por cento por ano durante dois séculos.
    • Marketing multi-nível . Aumentos exponenciais são prometidas aos que aparecem em cada novo nível de downline um membro de partida como cada membro posterior recruta mais pessoas.
  • Financiar
    • Os juros compostos a uma taxa de juros constante proporciona crescimento exponencial do capital. Veja também regra de 72 .
    • Esquemas de pirâmide ou esquemas Ponzi também mostram este tipo de crescimento, resultando em lucros elevados para alguns investidores iniciais e perdas entre um grande número de investidores.
  • A tecnologia informática
    • O poder de processamento dos computadores. Veja também a lei de Moore e singularidade tecnológica (em crescimento exponencial, não há singularidades. A singularidade aqui é uma metáfora.).
    • Na teoria da complexidade computacional , algoritmos de complexidade exponencial exigem uma quantidade exponencialmente crescente de recursos (por exemplo, tempo, memória do computador) para apenas um aumento constante no tamanho do problema. Assim, para um algoritmo de complexidade de tempo de 2 x, se um problema de tamanho x = 10 requer 10 segundos para completar, e um problema de tamanho x = 11 requer 20 segundos, em seguida, um problema de tamanho x = 12 irá requerer 40 segundos. Este tipo de algoritmo normalmente torna-se inutilizável em tamanhos muito pequenos problemas, muitas vezes entre 30 e 100 itens (a maioria dos algoritmos de computador precisa ser capaz de resolver problemas muito maiores, até dezenas de milhares ou mesmo milhões de itens em tempos razoáveis, algo que ser fisicamente impossível com um algoritmo exponencial). Além disso, os efeitos da Lei de Moore não ajuda a situação muito, porque a velocidade do processador de duplicação apenas permite que você aumente o tamanho do problema por uma constante. Por exemplo, se um processador lento pode resolver problemas de tamanho x no tempo t, em seguida, um processador duas vezes mais rápido só podia resolver problemas de tamanho x + t constantes no mesmo tempo. Então, algoritmos exponencialmente mais complexos são muitas vezes impraticável, ea busca de algoritmos mais eficientes é um dos objetivos centrais da ciência da computação de hoje.
    • Crescimento do tráfego Internet .

[ editar ] fórmula básica

Um x quantidade depende exponencialmente em tempo t se

x (t) = a \ cdot b ^ {t / \ tau} \,

onde a constante a é o valor inicial de x,

x (0) = um \,,

ea constante b é um factor de crescimento positivo, e ? é o tempo necessário para x para aumentar por um factor de b:

x (t + \ tau) = x (t) \ cdot b \,.

Se ?> 0 e b> 1, então x tem um crescimento exponencial. Se ? <0 e b> 1, ou ?> 0 e 0 <b <1, então x tem decaimento exponencial .

Exemplo: Se uma espécie de bactérias duplica a cada dez minutos, começando com apenas uma bactéria, quantas bactérias estariam presentes após uma hora A questão implica a = 1, b = 2 e ? = 10 min?.

x (t) = a \ cdot b ^ {t / \ tau} = 1 \ cdot 2 ^ {(60 \ text {min}) / (10 \ text {min})}
x (1 \ text {hr}) = 1 \ cdot 2 ^ 6 = 64.

Após uma hora, ou seis intervalos de dez minutos, haveria 60 e quatro bactérias.

Muitos pares (b, ?) de um adimensional b número não-negativo e uma quantidade de tempo ? (uma quantidade física que pode ser expressa como o produto de um número de unidades e uma unidade de tempo) representam a mesma taxa de crescimento, com ? proporcional ao log b. Para qualquer b fixo não igual a 1 (e por exemplo, ou 2), a taxa de crescimento é determinado pelo tempo não-zero ?. Para qualquer momento diferente de zero ? a taxa de crescimento é dada pela b número adimensional positivo.

Assim, a lei de crescimento exponencial podem ser escritos em diferentes formas, mas matematicamente equivalente, usando uma diferente de base . As formas mais comuns são os seguintes:

x (t) = x_0 \ cdot e ^ {kt} = x_0 \ cdot e ^ {t / \ tau} = x_0 \ cdot 2 ^ {t / T} = x_0 \ cdot \ left (1 + \ frac {r} {100} \ right) ^ {t / p},

onde x 0 expressa os x quantidade inicial (0).

Parâmetros (negativo, no caso de decaimento exponencial):

O k quantidades, \ Tau , E T, e para uma dada p também r, tem uma ligação um-para-um dado pela seguinte equação (que pode ser derivado por tomado o logaritmo natural do acima):

k = \ frac {1} {\ tau} = \ frac {\ ln 2} {T} = \ frac {\ ln \ left (1 + \ frac {r} {100} \ right)} {p} \,

onde k = 0 corresponde ao r = 0 e para \ Tau e T sendo infinito.

Se p é a unidade de tempo que o quociente t / p é simplesmente o número de unidades de tempo. Usando o t notação para o número (sem dimensão) de unidades de tempo em vez do tempo em si, t / p pode ser substituído por t, mas para a uniformidade isto tem sido evitado aqui. Neste caso, a divisão por p na fórmula última não é uma divisão numérica, quer, mas converte um número adimensional para a quantidade correcta incluindo a unidade.

Um método popular aproximada para o cálculo do tempo de duplicação da taxa de crescimento é a regra de 70 , isto é T \ simeq 70 / r .

[ editar ] Reformulação como log-linear de crescimento

Se uma variável x exibe crescimento exponencial de acordo com X_T = x_0 (1 + r) ^ t , Então o log (a qualquer base) de x cresce linearmente ao longo do tempo, como pode ser visto, tomando logaritmos de ambos os lados da equação exponencial de crescimento:

\ Log X_T = \ log x_0 + t \ cdot \ log (1 + r).

Isso permite que uma variável de crescimento exponencial a ser modelado com um modelo log-linear . Por exemplo, se se deseja empiricamente estimar a taxa de crescimento a partir de dados intertemporais em x, pode-se linearmente regredir x log em t.

[ editar ] Equação diferencial

A função exponencial \ Scriptstyle x (t) = ae ^ {kt} satisfaz a equação diferencial linear :

\! \, \ Frac {dx} {dt} = kx

dizendo que a taxa de crescimento de x no tempo t é proporcional ao valor de x (t), e tem o valor inicial

x (0) = a. \,

Para \ Scriptstyle a> 0 a equação diferencial é resolvido pelo método de separação de variáveis ??:

\ Frac {dx} {dt} = kx
\ Rightarrow \ frac {dx} {x} = k \, dt
\ Rightarrow \ int \ frac {dx} {x} = \ int k \, dt
\ Rightarrow \ ln x = kt + \ text {constante} \,.

Incorporando o valor inicial dá:

\ Ln x = kt + \ ln a \,
\ Rightarrow x = ae ^ {kt} \,

A solução também se aplica para \ Scriptstyle a \ le0 onde o logaritmo não está definido.

Para um não-linear variação deste modelo de crescimento ver função logística .

[ editar ] Diferença equação

A equação diferença

X_T = a \ cdot x_ {t-1}

tem solução

X_T = x_0 \ cdot a ^ t,

mostrando que x experimenta crescimento exponencial.

[ editar ] Outros taxas de crescimento

No longo prazo, o crescimento exponencial de qualquer tipo irá ultrapassar o crescimento linear de qualquer tipo (a base da catástrofe malthusiana ), bem como qualquer polinómio de crescimento, isto é, para todos ?:

\ Lim_ {t \ rightarrow \ infty} {t ^ \ alpha \ over ae ^ t} = 0.

Há toda uma hierarquia de taxas de crescimento que são concebíveis mais lento do que exponencial e mais rápido do que linear (a longo prazo). Ver Grau de um polinómio # O grau calculado a partir dos valores da função .

As taxas de crescimento pode também ser mais rápida do que exponencial.

Na equação diferencial acima, se k <0, então a quantidade experimenta decaimento exponencial .

[ editar ] Limitações dos modelos

Modelos de crescimento exponencial de fenômenos físicos só é aplicável dentro de regiões limitadas, como o crescimento ilimitado não é fisicamente realista. Embora o crescimento pode inicialmente ser exponencial, os fenômenos modelados acabará por entrar em uma região na qual anteriormente ignorados feedback negativo fatores tornam-se significativas (levando a um crescimento logístico modelo) ou outras hipóteses subjacentes ao modelo de crescimento exponencial, como continuidade ou feedback instantâneo, quebrar para baixo.

[ editar ] histórias exponenciais

[ editar ] Rice em um tabuleiro de xadrez

Segundo a lenda, vizir Sissa Ben Dahir apresentou um índio rei Sharim com um belo hand-made tabuleiro de xadrez . O rei perguntou o que ele gostaria em troca de seu dom e surpreendeu o cortesão do rei pedindo um grão de arroz na primeira casa, dois grãos na segunda, quatro grãos na terceira, etc O rei prontamente concordou e pediu o arroz a ser interposto. Tudo correu bem no início, mas a exigência de 2 n - 1 grãos no enésimo quadrado exigiu mais de um milhão de grãos na praça 21, mais de um milhão de milhões (aka trilhões ) no 41 e simplesmente não havia arroz suficiente no o mundo inteiro para os quadrados finais. (A partir de Swirski, 2006)

Para a variação desta ver segunda metade do tabuleiro de xadrez , em referência ao ponto em que um fator de crescimento exponencial começa a ter um impacto econômico significativo na estratégia de uma organização global de negócios.

[ editar ] O lírio de água

Crianças francesas são contou uma história em que imaginamos ter uma lagoa com água lírio deixa flutuando na superfície. A população lírio dobra de tamanho a cada dia e, se não forem vão abafar o lago em 30 dias, matando todos os outros seres vivos na água. Dia após dia, a planta parece pequena e por isso está decidido a deixá-lo a crescer até metade cobre o lago, antes de cortá-lo de volta. Eles são, então, perguntou, em que dia que vai ocorrer. Este é revelado para ser o dia 29, e em seguida, haverá apenas um dia para salvar a lagoa. (De Meadows et al. 1972, p. 29 através Porritt 2005)

[ editar ] Ver também

[ editar ] Referências

  1. ^ 2010 Dados do Censo. "Censo dos EUA." 12 de novembro de 2011. http://2010.census.gov/2010census/data/index.php
  2. ^ Sublette, Carey. "Introdução à Física de Armas Nucleares e Design" . Arquivo de Armas Nucleares. http://nuclearweaponarchive.org/Nwfaq/Nfaq2.html . Retirado 2009/05/26.  

[ editar ] Fontes

[ editar ] Ligações externas

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